পূর্ণসংখ্যা (তৃতীয় অধ্যায়)

আদিম মানুষ পশুপালন এবং খাদ্য সামগ্রীর হিসাব রাখার জন্য পাথর, কাঠি ইত্যাদি ব্যবহার করত। এসব উপকরণ দিয়ে হিসাব রাখা কষ্টকর বিধায় গুনে পাওয়া সংখ্যাকে লিখে রাখার জন্য নানা রকম প্রতীকের প্রয়োজন দেখা দেয়। সেখান থেকেই প্রতীকের মাধ্যমে সংখ্যা গণনা করা শুরু হয় এবং বর্তমান সংখ্যা পদ্ধতি বিকাশ লাভকরে। ০ থেকে ৯ পর্যন্ত অঙ্কগুলোকে ব্যবহার করে সব সংখ্যাকেই লিখে ফেলা যায়। এই অধ্যায়ে আমরা ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার ধারণা পাব। একই সাথে সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা স্থাপন, তাদের মধ্যে তুলনা এবং যোগ ও বিয়োগ প্রক্রিয়া নিয়ে আলোচনা করব।

অধ্যায় শেষে শিক্ষার্থীরা-

• পূর্ণ সংখ্যার বৈশিষ্ট্য ব্যাখ্যা করতে পারবে।
• পূর্ণ সংখ্যা শনাক্ত করতে পারবে।
• সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যার অবস্থান দেখাতে পারবে এবং ছোট-বড় সংখ্যা তুলনা করতে পারবে।
• চিহ্নযুক্ত সংখ্যার যোগ, বিয়োগ করতে পারবে এবং সংখ্যারেখার সাহায্যে দেখাতে

তমা ও সালমা খেলার জন্য সমদূরবর্তী 25টি বিন্দু 0 থেকে 25 পর্যন্ত সংখ্যা দ্বারা চিহ্নিত একটি স্কেল নিল। শুরুতে ০ (শূন্য) চিহ্নের উপর তারা তাদের গুটি দুইটি রাখলো। লাল ও নীল রঙের দুইটি ছক্কা একটি ব্যাগে রাখা হলো। খেলার নিয়মানুসারে, একজন একটি ছক্কা উঠিয়ে নিক্ষেপ করবে, তারপর নিক্ষেপ করা ছক্কাটি ব্যাগে রেখে দ্বিতীয় জন একটি ছক্কা উঠাবে। নিক্ষেপ করা ছক্কাটি লাল হলে যে সংখ্যাটি উঠবে তার গুটি তত ঘর ডানদিকে সরবে। আবার ছক্কাটি নীল হলে যে সংখ্যাটি উঠবে তার গুটি তত ঘর বামদিকে সরবে। কিন্তু প্রশ্ন হলো 0 চিহ্নের বামে কোনো ঘর নেই। এমতাবস্থায়, নীল রঙের ছক্কা নিক্ষেপ করার পর তারা গুটি সরাবে কোন দিকে?

তমা ও সালমা তখন একই ধরনের নীল রঙের একটি স্কেল এর বামপাশে স্থাপন করে খেলাটি শেষ করলো। উল্লেখ্য, খেলাটি শেষ করার শর্ত ছিল যে, যার গুটি ডানদিকে 25 পর্যন্ত আগে যাবে সে জয়ী হবে এবং যে বামদিকে 25 পর্যন্ত যাবে সে খেলা হতে বাদ পড়বে।

অপর একদিন খেলার জন্য তারা কোনো নীল স্কেল না পেয়ে দুইটি একই ধরনের স্কেল বিপরীত দিকে স্থাপন করলো। তারা একমত হলো যে, শূন্যের বামে অর্থাৎ, বামদিকের স্কেলের সংখ্যাগুলোর সাথে একটি চিহ্ন বসিয়ে নিতে হবে এবং এই চিহ্নটি হবে বিয়োগ চিহ্ন'(-)। এতে বিয়োগ চিহ্নযুক্ত সংখ্যাগুলো শূন্যের চেয়ে ছোট বোঝাবে। এই সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক সংখ্যা।

মনে করি, শিপন ও রাজু কোনো স্থানের শূন্য বিন্দু থেকে পরস্পর বিপরীত দিকে হাঁটা শুরু করলো। শূন্য বিন্দুর ডানদিকের ধাপকে '+' চিহ্ন এবং বামদিকের ধাপকে '-' চিহ্ন দ্বারা সূচিত করা হলো।
শিপন যদি ডান দিকে 5 টি ধাপ অতিক্রম করে, তাহলে তার অবস্থানকে + 5 দ্বারা এবং রাজু যদি বামদিকে 4 টি ধাপ অতিক্রম করে, তাহলে তার অবস্থানকে -4 দ্বারা চিহ্নিত করা হবে।

পূর্ববর্তী আলোচনা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, গতিপথের ডানদিকে যদি সংখ্যাটি ধনাত্মক হয় তবে বামদিকে সংখ্যাটি ঋণাত্মক হবে। যদি কোনো সংখ্যা থেকে 1 ধাপ ডানদিকে যাওয়া যায়, তবে ঐ সংখ্যার পরবর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে এবং যদি 1 ধাপ বাম দিকে যাওয়া যায়, তবে পূর্ববর্তী সংখ্যাটি পাওয়া যাবে।

এ পর্যন্ত আমরা ঋণাত্মক সংখ্যার ধারণা পেয়েছি। বাস্তব জীবনে এগুলো কিভাবে ব্যবহার করা হয়, তা এখানে আলোচনা করা হলো:

এগুলো আমাদের পরিচিত শব্দ। জোড়ার প্রথমটি দ্বিতীয়টির বিপরীত। আয়, লাভ ও বৃদ্ধি বলতে পরিমাণে বাড়ে। আবার ব্যয়, ক্ষতি ও হ্রাস বলতে পরিমাণে কমে।

5 টাকা আয়কে + 5 টাকা দ্বারা চিহ্নিত করলে 7 টাকা ব্যয়কে -7 টাকা দ্বারা চিহ্নিত করা যায়।
ঠিক এমনিভাবে + 6 টাকা দ্বারা 6 টাকা লাভ বোঝালে -4 টাকা দ্বারা 4 টাকা ক্ষতি বোঝানো যায়।

উপরের আলোচনা থেকে লক্ষ করি যে, একই জাতীয় কিন্তু বিপরীতমুখী দুইটি রাশির পার্থক্য বোঝাতে একটিকে (+) চিহ্নযুক্ত ধরলে অপরটি (-) চিহ্নযুক্ত হবে।

মানুষের প্রয়োজনে প্রথমে 1, 2, 3 ______ এ সংখ্যাগুলো আবিষ্কৃত হয়। এগুলোকে স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলে। স্বাভাবিক সংখ্যার সাথে 0 নিয়ে আমরা পাই, 0,1,2,3 ________ এগুলোকে অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা বলা হয়। আবার _________4,3,2,1 সংখ্যাগুলো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা।

অঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা ও ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা একত্র করলে আমরা পাই,

____________-4,-3,-2,-1, 0, 1, 2, 3, 4, __________

এই সংখ্যাগুলো পূর্ণসংখ্যা।

নিচের চিত্রগুলোর সাহায্যে সংখ্যাগুলো প্রকাশ করা যেতে পারে:

চিত্র - ৩

একটি সরলরেখা অঙ্কন করে তার উপরে একটি বিন্দু 0 নিই। তাহলে, 0 বিন্দুটি সরলরেখাটিকে দুইটি অংশে বিভক্ত করে। একটি অংশ ডানদিকে ও অপর অংশটি বামদিকে সীমাহীনভাবে বিস্তৃত। এর ডানদিককে ধনাত্মক ও বামদিককে ঋণাত্মক ধরা হয়।

এখন একটি নির্দিষ্ট দৈর্ঘ্যকে একক ধরে ০ বিন্দু থেকে শুরু করে ডান দিকে ও বাম দিকে পর পর সমান দূরত্বে দাগ দিই। এখন 0 বিন্দুর ডানদিকের দাগগুলোকে পর্যায়ক্রমে +1,+2,+3,+ 4 ________ বা শুধুমাত্র 1, 2, 3, 4 _________ লিখে এবং বাম দিকের দাগগুলোকে 1,-2,-3,-4 _________ লিখে চিহ্নিত করি।

এখন, সংখ্যারেখার উপর ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা 2 স্থাপনের জন্য বিন্দুর ডানদিকে 2 একক দূরের বিন্দুটিকে গাঢ় গোল চিহ্ন দ্বারা আবদ্ধ করি (চিত্র-৪)। তাহলে গোল চিহ্নিত বিন্দুটিই হবে 2 এর অবস্থান।

আবার, সংখ্যারেখার উপর ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা -6 স্থাপনের জন্য বিন্দুর বামদিকে 6 একক দূরের বিন্দুটিকে গাঢ় গোল চিহ্ন দ্বারা আবদ্ধ করি (চিত্র-৫)। তাহলে এই বিন্দুটিই হবে -6 এর অবস্থান।

রমা ও রাণী যে গ্রামে বাস করে সেখানে সিঁড়ি বাঁধানো একটি পুকুর আছে। পুকুরের পাড় হতে নিচ তলা পর্যন্ত 10টি ধাপ আছে। একদিন তারা পুকুরপাড়ে গিয়ে দেখে যে পাড় হতে 5 ধাপ নিচে পানি আছে। বর্ষাকালে পানি কোথায় ওঠে তা দেখার জন্য তারা পানির বর্তমান স্তরকে ( দ্বারা চিহ্নিত করলো। তারপর উপরের দিকে ধাপগুলোকে 1,2,3,4,5 দ্বারা চিহ্নিত করলো। বর্ষাকালে বৃষ্টির পর তারা দেখলো যে পানির স্তর 3 ধাপ পর্যন্ত উপরে উঠেছে। বর্ষা চলে যাওয়ার কয়েক মাস পর দেখা গেল যে পানির স্তর 0 চিহ্নের 3 ধাপ নিচে নেমেছে। তাহলে নিচের ধাপগুলোকে কিভাবে চিহ্নিত করা যেতে পারে?

যেহেতু পানি কমেছে, সেজন্য তারা নিচের দিকে '-' বিয়োগ চিহ্নযুক্ত সংখ্যা বসানোর সিদ্ধান্ত নিল। সে অনুযায়ী (০ এর নিচের ধাপগুলোকে পরপর 1,2,3 দ্বারা চিহ্নিত করলো। এর কিছুদিন পর পানি আরো 1 ধাপ নিচে নেমে গেল। তখন তারা ঐ ধাপকে 4 দ্বারা চিহ্নিত করলো। তাহলে দেখা যাচ্ছে যে,4<-3। অনুরূপভাবে বলা যায় যে, -5<-4.

পুনরায় আমরা সংখ্যারেখায় পূর্ণসংখ্যা স্থাপন করি:

আমরা জানি, 7>4 এবং সংখ্যারেখায় আমরা দেখি যে, 4 এর ডানে 7। অনুরূপভাবে, 4> 0 অর্থাৎ ০ এর ডানে 4। আবার যেহেতু 3 এর ডানে 0, সুতরাং 0>-3। অনুরূপভাবে, -৪ এর ডানে- 3 হওয়ায় -3>-৪। এভাবে আমরা দেখতে পাই, সংখ্যারেখায় আমরা ডানদিকে গেলে সংখ্যার মান বৃদ্ধি পায় এবং বামদিকে গেলে হ্রাস পায়।

অতএব _________ -3<-2,-2-1,-1<0,0<1,1<2, 2<3 ________ অর্থাৎ পূর্ণসংখ্যাগুলোকে পর্যায়ক্রমে আমরা ______ -5, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ________ আকারে লিখতে পারি।

১। নিচের বাক্যাংশগুলো বিপরীত অর্থে লিখ:

(ক) ওজন বৃদ্ধি;
(খ) 30 কি.মি. উত্তর দিক;
(গ) বাড়ি হতে বাজার ৪ কি.মি. পূর্বে;
(ঘ) 700 টাকা ক্ষতি;
(ঙ) সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে 100 মিটার উপরে।

২। নিচের বাক্যগুলোতে উল্লেখিত সংখ্যাগুলো উপযুক্ত চিহ্ন সহকারে লেখ:

(ক) একটি উড়োজাহাজ সমতলভূমি থেকে দুই হাজার মিটার উপর দিয়ে উড়ছে।
(খ) একটি ডুবোজাহাজ সমুদ্রপৃষ্ঠ থেকে আটশত মিটার গভীরে চলছে।
(গ) দুইশত টাকা ব্যাংকে জমা রাখা।
(ঘ) সাতশত টাকা ব্যাংক থেকে ঋণ নেওয়া।

৩। নিচের সংখ্যাগুলোকে সংখ্যারেখায় স্থাপন কর:

(ক) +5
(খ)-10
(গ) +8
(ঘ) -1
(ঙ) -6

৪। কোনো একটি নির্দিষ্ট দিনে বিভিন্ন দেশের চারটি স্থানের তাপমাত্রার তালিকা নিম্নে উল্লেখ করা হলো:

(ক) বিভিন্ন স্থানের তাপমাত্রা উপযুক্ত চিহ্ন সহকারে পূর্ণসংখ্যায় উপরের ফাঁকা কলামে লেখ।

(খ) নিচের সংখ্যারেখায় উল্লেখিত সংখ্যাগুলো দ্বারা তাপমাত্রা দেখানো হয়েছে।

(i) তাপমাত্রা অনুযায়ী উপরোক্ত স্থানগুলোর নাম সংখ্যারেখায় লেখ।
(ii) কোন স্থানটি সবচেয়ে শীতল?
(iii) যে সকল স্থানের তাপমাত্রা 10^০ C এর বেশি সে সকল স্থানের নাম লেখ।

৫. নিম্নে প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যে কোনটি অন্যটির ডানে অবস্থিত তা সংখ্যারেখায় দেখাও:

(ক) 2,9
(খ) -3,-8
(গ) 0,-1
(ঘ)-11,10
(ঙ) -6,6
(চ) 1,-10

৬. নিম্নে প্রদত্ত সংখ্যাদ্বয়ের মধ্যবর্তী পূর্ণ সংখ্যাগুলো মানের ঊর্ধ্বক্রম অনুযায়ী লেখ:

(ক) ০ এবং - 7
(খ) - 4 এবং 4
(গ) - 4 এবং-15
(ঘ)- 30 এবং 23

৭.

(ক) – 20 হতে বড় চারটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লেখ।
(খ) - 10 হতে ছোট চারটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লেখ।
(গ)-10 ও-5 এর মধ্যবর্তী চারটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা লেখ।

৮. নিচের বাক্যগুলোর পাশে সত্য হলে (স) এবং মিথ্যা হলে (মি) লেখ। মিথ্যা হলে বাক্যটি শুদ্ধ কর।

(ক) সংখ্যারেখায় -10 এর ডানে -8.
(খ) সংখ্যারেখায় -60 এর ডানে -70.
(গ) সবচেয়ে ছোট ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা -1.
(ঘ) -20 এর চেয়ে -26 বড়।

শ্যামাদের একতলা বাড়ির ছাদে এবং নিচের গুদামঘরে যাওয়ার জন্য একটি সিঁড়ি আছে। ধরা যাক, বাড়ির মেঝে থেকে উপরে ওঠার প্রত্যেকটি সিঁড়ি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, নিচে গুদামঘরে যাওয়ার প্রত্যেকটি সিঁড়ি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং মেঝেকে শূন্য (0) দ্বারা নির্দেশ করা হলো।

নিচের বাক্যগুলো পড় এবং খালি ঘর পূরণ কর (দুইটি করে দেখানো হলো):

(ক) সমতল মেঝে থেকে 6 টি সিঁড়ি উপরে উঠলে হবে $\boxed{+6}$

(খ) সমতল মেঝে থেকে 5 টি সিঁড়ি নিচে নেমে এবং সেখান থেকে 7 টি সিঁড়ি উপরে উঠলে হবে $\boxed{(-5)+(+7) = +2}$

(গ) সমতল মেঝে থেকে 4 টি সিঁড়ি নিচে নামলে হবে $\square$

(ঘ) সমতল মেঝে থেকে 2 টি সিঁড়ি উপরে উঠে এবং সেখান থেকে আরো 3 টি সিঁড়ি উপরে উঠলে হবে $\square$

(ঙ) সমতল মেঝে থেকে 4 টি সিঁড়ি নিচে নেমে এবং সেখান থেকে আরো 2 টি সিঁড়ি নিচে নামলে হবে $\square$

(চ) সমতল মেঝে থেকে 5 টি সিঁড়ি নিচে নেমে এবং সেখান থেকে 3 টি সিঁড়ি উপরে উঠলে হবে $\square$

(ছ) সমতল মেঝে থেকে 4 টি সিঁড়ি উপরে উঠে এবং সেখান থেকে ৪টি সিঁড়ি নিচে নামলে হবে $\square$

(ক) সংখ্যারেখার সাহায্যে 533 এর যোগ অর্থাৎ, 5+3 নির্ণয় : প্রথমে একটি সংখ্যারেখা আঁকি।

সংখ্যারেখার ০ বিন্দু থেকে ডানদিকে প্রথমে 5 ধাপ অতিক্রম করে 5 বিন্দুতে পৌছাই। তারপর 5 বিন্দুর ডানদিকে আরও 3 ধাপ অতিক্রম করি এবং ৪ বিন্দুতে পৌছাই। তাহলে, 533 এর যোগফল হবে 5+3=৪ (চিত্র-৯)।

(খ) সংখ্যারেখার সাহায্যে 5ও-3 এর যোগ অর্থাৎ, 5+ (-3) নির্ণয়: প্রথমে একটি সংখ্যারেখা আঁকি।

সংখ্যারেখার উপর ০ বিন্দু থেকে ডানদিকে প্রথমে 5 ধাপ অতিক্রম করে 5 বিন্দুতে পৌছাই। তারপর 5 বিন্দুর বামদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করি এবং 2 বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে, 53-3 এর যোগফল হবে (5) + (- 3) = 2 (চিত্র-১০)।

(গ) সংখ্যারেখার সাহায্যে 533 এর যোগ অর্থাৎ, (-5) + 3 নির্ণয়: প্রথমে একটি সংখ্যারেখা আঁকি।

সংখ্যারেখার উপর ০ বিন্দু থেকে বামদিকে প্রথমে 5 ধাপ অতিক্রম করে 5 বিন্দুতে পৌঁছাই। তারপর 5 বিন্দুর ডানদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করি এবং 2 বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে, - 5 ওও এর যোগফল হবে (- 5) + (3) = - 2 (চিত্র-১১)।

(ঘ) সংখ্যারেখার সাহায্যে 5ও-3 এর যোগ অর্থাৎ, (- 5) + (- 3) নির্ণয় : প্রথমে একটি সংখ্যারেখা আঁকি।

সংখ্যারেখার উপর 0 বিন্দু থেকে বামদিকে প্রথমে 5 ধাপ অতিক্রম করে 5 বিন্দুতে পৌঁছাই।
তারপর – 5 বিন্দুর বামদিকে আরও 3 ধাপ অতিক্রম করি এবং ৪ বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে - 53 - 3 এর যোগফল হবে (-5)+(-3) = -৪ (চিত্র-১২)।

উপরের আলোচনা থেকে আমরা দেখতে পাই যে, যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করা হয় তবে যোগফল পূর্ণসংখ্যাটি থেকে বড় হয়। আবার, যদি কোনো পূর্ণসংখ্যার সাথে একটি ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করা হয় তবে যোগফল পূর্ণসংখ্যাটি থেকে ছোট হয়।

এখন দুইটি পূর্ণ সংখ্যা 33-3 এর যোগফল নির্ণয় করি। প্রথমে সংখ্যারেখার উপর ০ বিন্দু থেকে ডানদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করে + 3 বিন্দুতে পৌঁছাই এবং তারপর + 3 বিন্দু থেকে বামদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করি। তাহলে আমরা কোন বিন্দুতে পৌঁছলাম?

চিত্র-১৩ থেকে দেখতে পাই যে, 3+(-3) = 0 অর্থাৎ, 0 বিন্দুতে পৌঁছলাম।

সুতরাং দুইটি পূর্ণসংখ্যা 3 ও - 3 যোগ করলে আমরা পাই শূন্য। অর্থাৎ, একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে তার ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করলে যোগফল শূন্য হয়।

এ ক্ষেত্রে, - 3 কে +3 এর যোগাত্মক বিপরীত এবং + 3 কে 3 এর যোগাত্মক বিপরীত বলা হয়।

উদাহরণ ১। যোগফল নির্ণয় কর: (- 9) + (4) + (- 6)

সমাধান: প্রদত্ত রাশিমালার ঋণাত্মক সংখ্যাগুলোকে একত্রে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখে পাই,

(- 9) + (4) + (- 6)
= (- 9) + (- 6) + (4)
= (- 15) + (4) = - 15 + 4
=-11

উদাহরণ ২। (30) + (- 23) + (- 63) + (55) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: প্রদত্ত রাশিমালার ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যাগুলোকে একত্রে পাশাপাশি সাজিয়ে লিখে পাই

(30) + (- 23) + (- 63) + (55)
= (30) + (55) + (- 23) + (- 63)
= (85) + (- 86) = 85 - 86
=-1

উদাহরণ ৩। (-10), (92), (84) এবং (-15) সংখ্যাগুলোর যোগফল নির্ণয় কর।

সমাধান:

(- 10) + (92) + (84) + (- 15)
= (- 10) + (- 15) + (92) + (84)
= (- 25) + (176) = 176 - 25
= 151

১। সংখ্যারেখা ব্যবহার করে নিচের যোগফলগুলো নির্ণয় কর:

(ক) 9+(-6)
(খ) 5+(-11)
(গ) (- 1) + (- 7)
(ঘ) (-5)+10

২। সংখ্যারেখা ব্যবহার না করে নিচের যোগফলগুলো নির্ণয় কর:

(ক) 11+(-7)
(খ) (- 13) + (18)
(গ) (- 10) + (19)
(ঘ) (- 1) + (- 2) + (- 3)
(ঙ) (- 2) + 8 + (- 4)

৩। যোগ কর:

ক) 137 এবং -35
(খ) - 52 এবং 52
(গ) -31, 39 এবং 19
(ঘ) -50, -200 এবং 300

৪। যোগফল নির্ণয় কর:

(ক) (- 7) + (- 9) + 4 + 16
(খ) 37 + (- 2) + (- 65) + (- 8)

আমরা সংখ্যারেখার সাহায্যে পূর্ণসংখ্যার যোগ শিখেছি। সে ক্ষেত্রে আমরা দেখতে পাই যে, কোনো সংখ্যার সাথে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করার জন্য ঐ বিন্দু থেকে ডানদিকে যাই আবার ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা যোগ করার জন্য ঐ বিন্দু থেকে বামদিকে যাই। এখন আমরা পূর্ণসংখ্যা থেকে পূর্ণসংখ্যা কিভাবে বিয়োগ করা হয় তা শিখবো।

(ক) সংখ্যারেখার সাহায্যে 6 থেকে 2 এর বিয়োগ অর্থাৎ, 6- (+2) নির্ণয় :

সংখ্যারেখা ব্যবহার করে পূর্ণসংখ্যা 6 থেকে 2 বিয়োগ করার জন্য 6 বিন্দু থেকে বামদিকে 2 ধাপ অতিক্রম করি এবং 4 বিন্দুতে পৌঁছাই। সুতরাং আমরা পাই, 6-(+2) = 6-2 = 4 (চিত্র-১৪)।

(খ) সংখ্যারেখার সাহায্যে 6 থেকে (-2) এর বিয়োগ অর্থাৎ 6- (-2) নির্ণয় :

6-(-2) নির্ণয়ের জন্য আমরা কি 6 বিন্দু থেকে 2 ধাপ বামদিকে যাব নাকি ডানদিকে যাব? যদি, আমরা 2 ধাপ বামদিকে যাই তবে 4 বিন্দুতে পৌছাই। তাহলে আমাদের বলতে হবে 6-(-2) = 4। কিন্তু এটা সঠিক নয় কারণ আমরা জানি 6-2=4; অতএব, 6-26 $\ne$ (-2).

যদি 0 থেকে 2 ঘর বামে যাওয়া 2 হয় তবে 0 থেকে 2 ঘর বামে যাওয়া অর্থ হবে ০ থেকে 2 ঘর ডানে যাওয়া। তাই 6- (-2) = 6+2=8.

যেহেতু, সংখ্যারেখার উপর আমরা শুধু ডান বা বাম দিকে যেতে পারি, সেহেতু আমাদেরকে 6 বিন্দুর ডানদিকে 2 ধাপ যেতে হবে এবং 6-(-2) = ৪ হবে (চিত্র-১৫)।

লক্ষ করি:- (-2) = +2 = 2.

সমস্যাটির সমাধান অন্যভাবে বিবেচনা করা যাক। আমরা জানি যে, (-2) এর যোগাত্মক বিপরীত 2. সে জন্য 6 এর সাথে (-2) এর যোগাত্মক বিপরীতের যোগফল যা পাওয়া যায় তা 6 থেকে (-2) এর বিয়োগফলের সমান।

সুতরাং আমরা লিখতে পারি, 6-(-2)=6+2=8.

উপরের উদাহরণ থেকে এটা স্পষ্ট যে, যখন কোনো সংখ্যা থেকে একটি ঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা বিয়োগ করা হয়, তখন ঐ সংখ্যা থেকে বড় কোনো সংখ্যা পাওয়া যায়।
(গ) সংখ্যারেখা ব্যবহার করে 5- (+4) এর মান নির্ণয় :

আমরা জানি, - 5 - (4) = - 5 + (- 4) যেহেতু + 4 এর যোগাত্মক বিপরীত 4. আমরা এখন - 5+ (-4) এর মান নির্ণয় করার জন্য 5 বিন্দু থেকে বামদিকে 4 ধাপ অতিক্রম করি এবং– 9 বিন্দুতে পৌছাই। তাহলে আমরা পাই5+(-4)=-9. সুতরাং-5-(+4)=-9 (চিত্র-১৬)।
(ঘ) সংখ্যারেখা ব্যবহার করে 5- (-4) এর মান নির্ণয় :

আমরা জানি, - 5 - (- 4) = - 5 + 4 যেহেতু 4 এর যোগাত্মক বিপরীত 4. এখন – 5+ (4) এর মান নির্ণয় করার জন্য আমরা 5 বিন্দুটি থেকে ডানদিকে 4 ধাপ অতিক্রম করি এবং - 1 বিন্দুতে পৌছাই
(চিত্র-১৭)

তাহলে আমরা পাই - 5 + 4 = - 1 সুতরাং 5 (-4)= -1.

উদাহরণ ১। -৪- (-10) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধান: আমরা জানি, 10 এর যোগাত্মক বিপরীত 10.

অতএব, (- 8) - (- 10) =-8+(-10 এর যোগাত্মক বিপরীত) = -8 +10 = 2

সুতরাং-৪-(-10) = 2

এখন, সংখ্যারেখার উপর-৪ বিন্দুটি থেকে ডানদিকে 10 ধাপ অতিক্রম করি এবং 2 বিন্দুতে পৌঁছাই।

সুতরাং -৪-(-10) = 2

উদাহরণ ২। (-10) থেকে (-4) বিয়োগ কর।

সমাধান: আমরা জানি, (-4) এর যোগাত্মক বিপরীতক 4

সুতরাং, (- 10) - (- 4) =(-10)+(-4 এর যোগাত্মক বিপরীত) = 10+ 4 = -6

উদাহরণ ৩। (-3) থেকে (+3) বিয়োগ কর।

সমাধান: এখানে, (- 3) - (3) =(-3)+(+3 এর যোগাত্মক বিপরীত)

= -3+(-3)

=-6.

উদাহরণ ৪। ষষ্ঠ শ্রেণির ছাত্রী রাইসা ও ফারিহা তাদের বিদ্যালয় মাঠের কেন্দ্র বিন্দু (শূন্যবিন্দু) থেকে ডানদিকে 6 ধাপ এবং বামদিকে 5 ধাপ অতিক্রম করে যথাক্রমে A ও B অবস্থানে পৌছে। ডান দিক ধনাত্মক বিবেচ্য।

(ক) A ও B এর অবস্থান সূচক সংখ্যা চিহ্ন সহ লিখ।
(খ) রাইসা ও ফারিহার অবস্থান সংখ্যারেখায় দেখাও।
(গ) রাইসা ও ফারিহার আরও এক ধাপ করে অগ্রসর হলে তাদের অবস্থান সূচক সংখ্যারেখা ব্যবহার করে যোগ কর।

সমাধান:

(ক)

রাইসা শূন্য বিন্দুর অবস্থান থেকে 6 ধাপ ডানে যায় আর
ফারিহা শূন্য বিন্দুর অবস্থান থেকে 5 ধাপ বামে যায়
যেহেতু ডান দিক ধনাত্মক। অতএব, বামদিক ঋণাত্মক।
অতএব A এর অবস্থান সূচক সংখ্যা = +6
B এর অবস্থান সূচক সংখ্যা = -5

(খ)

রাইসার অবস্থান সূচক সংখ্যা = +6
ফারিহার অবস্থান সূচক সংখ্যা = -5
সংখ্যা রেখায় বিন্দুর অবস্থান থেকে ডান দিকে
6 ধাপ গেলে যে বিন্দু পাওয়া যায় তা, +6 যা, রাইসার অবস্থান
আবার, 0 বিন্দুর অবস্থান থেকে বাম দিকে 5 ধাপ অতিক্রম করে প্রাপ্ত বিন্দু = -5, যা ফারিহার অবস্থান।

সংখ্যা রেখায়) এর ডানের গোল চিহ্নিত বিন্দুটি = +6
এবং ০ এর বামের গোল চিহ্নিত বিন্দুটি = -5

(গ) রাইসা আরও একধাপ অগ্রসর হলে প্রাপ্ত বিন্দু = +6+1 = +7

ফারিহা আরও একধাপ অগ্রসর হলে প্রাপ্ত বিন্দু = -5-1= -6
এখন সংখ্যা রেখা ব্যবহার করে +7+(-6) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

সংখ্যারেখার ০ বিন্দু থেকে ডানদিকে 7 ধাপ অতিক্রম করে +7 বিন্দুতে পৌঁছাই। তারপর (+7) বিন্দুর বাম দিকে 6 ধাপ অতিক্রম করে (+1) বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে +7 ও-6 এর যোগফল হবে। (7) + (- 6) = +1 (চিত্র)

উদাহরণ ৫।

A = (- 9) + 4 + (- 6)
B = 7 + (- 4)
(ক) B এর মান নির্ণয় কর।
(খ) দেখাও যে, A < B
(গ) A ও B এর মান সংখ্যারেখায় বসিয়ে (A + B) নির্ণয় কর।

সমাধান :

(ক) B = 7 + (- 4)
= 7-4
= 3

(খ) 'ক' হতে পাই, B = 3
A = (- 9) + 4 + (- 6)
= -9+4-6
= -9-6+4
= -15+4
A = - 11 এবং B = 3

A এর মান, B এর মানের চেয়ে ছোট
অর্থাৎ A

(গ) 'খ' হতে পাই, A = - 11

এবং
B = 3
A + B = - 11 + (3)

এখন, সংখ্যারেখা ব্যবহার করে, (A+B) নির্ণয় করি।

সংখ্যা রেখার উপর 0 বিন্দু থেকে বাম দিকে প্রথমে 11 ধাপ অতিক্রম করে (-11) বিন্দুতে পৌঁছাই। তারপর, (-11) বিন্দুর ডানদিকে 3 ধাপ অতিক্রম করে, (-৪) বিন্দুতে পৌঁছাই। তাহলে, (-11) এবং 3 এর যোগফল হবে, (- 11) + (3) = - 8

অতএব A + B = - 8

১। -a এর যোগাত্মক বিপরীত রাশি কোনটি?

ক) +a (খ) -$a^2$ (গ) $\frac{1}{a}$ (ঘ) - $\frac{1}{a}$

২। 12 এর সাথে, এর যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যা যোগ করলে হয়-

(ক) -24
(খ)-12
(গ) 0
(ঘ) 24

৩। $\square$ -15 = -10; $\square$ চিহ্নিত স্থানের সংখ্যাটি কত?

(ক) -25
(খ) -5
(গ) 25
(ঘ) 5

নিচের তথ্যের আলোকে (৪ ও ৫) নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

-7, -8, -9 তিনটি পূর্ণসংখ্যা।

৪। প্রথম সংখ্যার সাথে ২য় সংখ্যার যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যা যোগ করলে হয়-

(ক) -15
(খ) -1
(গ) 1
(ঘ) 15

৫। ১ম ও ৩য় সংখ্যার যোগাত্মক বিপরীত সংখ্যার যোগফলের সাথে ২য় সংখ্যা যোগ করলে যোগফল A হলে-

(ক) A < - 15
(খ) A > - 90
(গ) A > 97
(ঘ) A < - 97

৬। A = 45 (11) এবং B = 57 + (- 4) হলে-

(i) A = 56
(ii) B = - 53
(iii) A - B = 3
নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

৭।

চিত্রের চিহ্নিত অংশে আছে-
(i) অঋণাত্মক পূর্ণ সংখ্যা
(ii) সকল মৌলিক সংখ্যা
(iii) সকল জোড় সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?

(ক) i ও ii
(খ) i ও iii
(গ) ii ও iii
(ঘ) i, ii, ও iii

নিচের তথ্যের আলোকে (৮ ও ৯) নং প্রশ্নের উত্তর দাও।

চিত্র:

৮। সমতল মেঝের অবস্থান সূচক কোন ধরনের?

(ক) ঋণাত্মক
(খ) অঋণাত্মক
(গ) বিজোড়
(ঘ) মৌলিক

৯। সমতল মেঝে থেকে 3 ধাপ ওপরে গিয়ে সেখানে থেকে 5 ধাপ নিচে গেলে হবে-

(ক) -৪
(খ) -2
(গ) 2
(ঘ) ৪

১০। বিয়োগফল নির্ণয় কর:

(ক) 35-20
(খ) 72-90
(গ) (- 15) - (- 18)
(ঘ) (-20)-13
(ঙ) 23-(-12)
(চ) (- 32) - (- 40)

১১। নিচের ফাঁকা ঘরগুলোতে >,< বা = চিহ্ন বসাও:

(ক) (-3)+(-6) $\square$ (- 3) - (- 6)

(খ) (- 21) - (- 10) $\square$ (- 31) + (- 11)
(গ) 45-(-11) $\square$ 57 + (- 4)
(ঘ) (- 25) - (- 42) $\square$ (- 42) - (- 25)

১২। নিচের ফাঁকাগুলো পূরণ কর:

(ক) (- 8) + $\square$=0
(খ) 13 + $\square$ = 10
(গ) 12 + (- 12) = $\square$
(ঘ) (- 4) + $\square$=-12
(ঙ) $\square$ - 15 = -10

১৩। মান নির্ণয় কর:

(ক) (- 7) - 8 - (- 25)
(খ) (-13)+32-8-1
(গ) (- 7) + (- 8) + (- 90)
(ঘ) 50 - (- 40) - (- 2)

১৪। -3, 6, 9 তিনটি পূর্ণ সংখ্যা

(ক) -3 এবং 6; 9 এবং - 3; (- 3 + 6) এবং (9-6) এর মধ্যে বাবা = চিহ্ন বসাও।
(খ) - (- 3) + (- 6) + 9 এর মান নির্ণয় কর।
(গ) সংখ্যা রেখার সাহায্যে-3 এবং 6 এর যোগফল; 9 এবং 6 এর বিয়োগফল নির্ণয় কর।